☛ Une équation

Pour tout réel \(x>0,\)

\(\begin{align}x^{(x^x)}=(x^x)^x&\Leftrightarrow \mathrm{e}^{x^x\ln x}=\mathrm{e}^{x\ln(x^x)}\\&\Leftrightarrow x^x \ln x=x\ln(x^x)\\&\Leftrightarrow x^x \ln x=x^2\ln x\\&\Leftrightarrow x^2 (x^{x-2}-1)\ln x=0\\&\Leftrightarrow\mathrm{e}^{(x-2)\ln x}-1=0\; \mathrm{ou}\; \ln x=0\; \textrm{car}\;x\neq0\\&\Leftrightarrow(x-2)\ln x=0\; \mathrm{ou}\; x=1\\&\Leftrightarrow x=2\; \mathrm{ou}\;x=1\\\end{align}\)

L'équation admet deux solutions : \(\mathscr{S}=\{1\;;2\}\) .